相量法：复数在电学中的应用

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引入

在交流电里，正弦式的电流往往可以表示成这样一个形式：

i(t)=I_m\cos (\omega x+\phi_i)

我们从一个问题出发：已知交流电源电压 $u(t) = 14.14 \cos(100t) \text{ V}$ （这就是说有效值是10V），这个电路串联了一个电阻 $R = 3\ \Omega$ ，一个电感 $L = 0.04\text{ H}$ ，以及一个电容 $C = 1250\ \mu\text{F}$ . 这种电路叫做RLC串联电路.

如果我们不使用复数，而是用微积分的方式来求电流 $i(t)$ ，则需要求解这样一个微分方程：

u(t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt

然而，利用相量法可以很轻松地解决这个问题. 我们先来引入这套新的系统.

复欧姆定律

假设正弦式的电流的有效值是 $I$ ，那么 $I=I_m/\sqrt{2}$ . 我们定义复电流

\dot I=Ie^{j\phi _i}

其中j是虚数单位. 进一步地，为了简化，可以写成

\dot I=I\angle \phi _i

你应该可以注意到，复电流只包含了有效值和初相位两个信息. 之所以不考虑频率，是因为我们假设在这个电路里频率是一致的，这就意味着对于连接了不同频率地电源系统分析起来会更复杂，那不在我们今天的讨论范围内.

在交流电路里，电感和电容都是类似于电阻的，会某种程度上阻碍电流的元件. 为了像电阻那样衡量它们的阻碍程度，我们分别定义感抗和容抗

X_L=\omega L， X_C =-\frac{1}{\omega C}

它们的单位都是欧姆. 感抗和容抗加起来叫做电抗，即

X=X_L+X_C

我们把电抗作为虚部，电阻作为实部，定义阻抗

Z=R+jX

这是阻抗的直角坐标形式，如果用极坐标的形式表示，那么就是

Z=\mid Z\mid \angle \phi _Z

其中 $\angle \phi _Z$ 叫做阻抗角. 电抗导致电压和电流产生了相位差，如果不存在电抗，也就不存在这个阻抗角.

引入这些内容后，交流电路就有了欧姆定律：

\dot U=\dot IZ

这里的电压也是一个复数. 从相位上看，电压的初相等于电流的初相加上阻抗角.

现在我们就能解决开头的问题了. 这里 $\dot U=10\angle 0^\circ \text{V}$ ，计算可得阻抗 $Z=3-j4\Omega$ ，化成极坐标系就是 $Z=5\angle -53.1^\circ \Omega$ ，接下来只用直接套用复欧姆定律，根据复数的除法规则（模长相除，角度相减）就有：

\dot I=\frac{\dot U}{Z}=2\angle 53.1^\circ \text{A}

计算就这么轻松完成了！再把结果还原回时域就有

i(t)=2.828\cos (100t+53.1^{\circ})\text{A}

从结果可以看出，因为容抗大于感抗，所以电路整体呈现出容性；在时间上，电流比电压超前53.1°到达峰值.

理论依据

等等，那这种方法的理论依据在哪里？简单，只要跟微积分的结果对上就好了嘛！我们设

\tilde i(t)=I_me^{j(\omega t+\phi _i)}

根据欧拉公式展开，恰好有

i(t)=Re\{\tilde i(t)\}=Re\{I_m\cos (\omega t+\phi _i)+jI_m\sin (\omega t+\phi _i)\}

为了把和时间无关的“相量”分离出来，我们拆成

\tilde i(t)=(I_me^{j\phi _i})\cdot e^{j\omega t}=\dot I_m\cdot e^{j\omega t}

如果对它求导，结果异常简单：

\frac{d}{dt}\tilde i(t)=j\omega \tilde i(t)

同理，对它积分也是惊人的简单：

\int \tilde i(t)dt=\frac{1}{j\omega}\tilde i(t)

现在，再回到那个让人头疼的微分方程里：

u(t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt

我们想要把实数信号u和i换成复数信号 $\tilde u$ 和 $\tilde i$ ，可不可以呢？是可以的. 因为替换以后，相当于满足两个实数的方程：实部相等，虚部相等. 实部的话，显然就是上面这个方程；而虚部，其实就是比实部的信号差了90度（cos变成了sin），那么也显然满足上面这个方程. 所以我们就有：

\tilde u(t) = R \tilde i(t) + L \frac{d\tilde i(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int \tilde i(t) dt

把我们刚才的结论代进去，提取公因式再约去，就有

\dot U=\dot I(R+j\omega L-j\frac{1}{\omega C})

这就是我们最早给出的复欧姆定律. 经过刚才的这波推导，你会发现，相量是完全剥去了时间这个维度，我们把这个世界叫做频域，而考虑时间的现实世界则叫做时域. 复数在这里所担当的角色，其实就是在时域和频域之间做转换. 这种转换在广义上就是Fourier/Laplace变换.

应用：无功补偿

在交流电的应用里，我们自然也想了解功率的情况. 我们定义复功率：

S=\dot U\dot I^*=P+jQ

其中 $\dot I^*$ 是 $\dot I$ 的共轭复数. 为什么取共轭？因为这样乘积后的角度就是电压的初相减掉电流的初相，即阻抗角！也就是说，复功率的角度恰好就是阻抗角.

复功率的实部P叫做有功功率，单位瓦特（W），由纯电阻产生. 虚部Q叫做无功功率，是在电感和电容之间震荡的能量，不做有用功，单位乏尔（var）. 复功率的模长称为视在功率，表示电源实际需要提供的总功率容量，即电压有效值乘以电流有效值，单位伏安（VA）.

为了进一步说明这一点，可以展开得到：

S=I^2Z=I^2R+jI^2X

在最早的RLC例子里，可以计算得到

S=20\angle -53.1^\circ \text{VA}=12-j16

在这个电路里，无用功率竟然比有用功率还高！为了衡量这种“效率”，我们用阻抗角的余弦定义功率因数：

\cos \varphi =\frac{P}{\mid S\mid}

为了解决低功率因数的问题，工程师想到一个绝妙的点子：无功补偿. 根据之前的内容，我们知道感性负载会产生大量的正无功功率，而电容产生的是负无功功率，那么只要在感性负载旁边并联一个巨大的电容器组即可.

电感线圈在交流电的前半个周期里吸收能量，建立磁场，在下半个周期释放能量；电容器相反，在前半个周期释放能量，后半个周期吸收能量. 这样，无功功率就在工厂内部完成循环，不需要从供电局那里抽取无用电流了.

应用：三相电

现实里，电网为了进一步提高传输效率，使用的是三根火线同时传输的“三相交流电”. 发电机里，有三组完全相同的线圈，空间上精准地互成120°，在旋转过程中感应出三个频率相同、峰值相同，但初相依次相差120°的电压. 即

\dot U_A=U\angle 0^\circ ,\dot U_B=U\angle -120^\circ ,\dot U_C=U\angle +120^\circ

这种对称带来的结果是

\dot U_A+\dot U_B+\dot U_C=0

于是，把三组线圈的尾端放在一起，就会形成一个中性点，引出零线. 而三个首段则可以引出三根火线.

相电压是指每根火线与中性点之间的电压，即 $\dot U_A,\dot U_B,\dot U_C$ .

而线电压是指每两根火线之间的电压，如

\dot U_{AB}=\dot U_A-\dot U_B=\sqrt{3}U\angle 30^\circ

为什么要用三相电？在三相系统里，虽然每一相的功率都在改变，但加在一起的总瞬时功率却始终不变. 同时天然的会存在一根零线，只用3根火线就能传输3组电能，而用3对单相系统则需要6根.

这就解释了我们生活中遇到的家用220V和工厂380V. 220V是相电压，我们家里的电器就是接在一根火线和一根零线之间的（当然有时也有地线）. 而380V是线电压，工厂里的三相大电机直接接在两根火线之间，不需要零线. 注意到了吗？380V正是220V的根号3倍.

至于推导前面提到的总瞬时功率，先看其中任意一相的有功功率公式

P_p=U_pI_p\cos \varphi

那么三相的总功率P就是上面的三倍. 但是相电流 $I_p$ 和相电压 $U_p$ 并不好测量，而线电流更好测量. 显然 $I_p=I_L$ ，而根据之前的推导，

U_p=\frac{U_L}{\sqrt{3}}

代入就有

P=\sqrt{3}U_LI_L\cos \varphi

应用：收音机

交流电的另一个应用是收音机. 对于一个特殊的频率，如果让感抗加容抗等于0，即电抗最小，那么，这个大电流就会被放大器捕获，让我们听到广播.

回顾公式，这个频率满足

\omega L=\frac{1}{\omega C}

即

\omega _0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

这就是谐振频率公式. 而当你转动旋钮的时候，实际上就是在改变电容器的正对面积，电容大小就改变了. 每当你转到对应的数值，就能听到对应频率的广播.

当然，这是老式的收音机. 今天的收音机早已换上了芯片与数字电路.

相量法的世界，就是这么神奇~

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